什么是收敛和发散在数学、物理学以及工程学中，“收敛”与“发散”是两个非常重要的概念，尤其在数列、级数、函数极限等领域广泛应用。它们用来描述某种变化动向是否趋于一个确定的值或无限增长。

为了更好地领会这两个概念，下面内容是对“收敛”和“发散”的划重点，并通过表格形式进行对比说明。

一、基本定义

– 收敛：当某个序列或函数随着变量的变化逐渐接近一个有限的数值时，我们称其为“收敛”。这个数值称为极限。

– 发散：如果一个序列或函数在变化经过中不趋向于任何有限的数值，而是无限增大、无限减小，或者没有稳定的动向，那么它就是“发散”。

二、常见应用场景

三、举例说明

收敛的例子：

– 数列 $ a_n = \frac1}n} $，当 $ n \to \infty $ 时，$ a_n \to 0 $，这是收敛的。

– 级数 $ \sum_n=1}^\infty} \frac1}n^2} $，该级数收敛于 $ \frac\pi^2}6} $。

发散的例子：

– 数列 $ b_n = n $，当 $ n \to \infty $ 时，$ b_n \to \infty $，这是发散的。

– 级数 $ \sum_n=1}^\infty} \frac1}n} $，即调和级数，它是发散的。

四、判断技巧（简要）

– 收敛性判断：可以通过极限计算、比较判别法、比值判别法、积分判别法等技巧来判断。

– 发散性判断：如果极限不存在或趋于无穷，或使用判别法发现级数无法收敛，则可判断为发散。

五、拓展资料

“收敛”与“发散”是描述数学对象在变化经过中是否趋于稳定或无限增长的重要概念。领会这两个术语有助于分析数列、函数、级数的行为，是进修高等数学的基础其中一个。

怎么样？经过上面的分析内容可以看出，收敛与发散不仅是数学中的学说工具，也广泛应用于实际难题的建模与分析中。